Madhyamik 2022 Math Paper Solution | West Bengal Madhyamik 2022 Math Paper Solution (PDF Download)

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ

(i) একটি গ্রামের বর্তমান জনসংখ্যা P এবং প্রতিবছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 2r% হলে, n বছর পর জনসংখ্যা হবেঃ

বর্তমান জনসংখ্যা = P এবং জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার = 2r%

∴    n বছর পরে জনসংখ্যা হবে = P ( 1 + 2r100 )ⁿ জন

= P ( 1 + r50 )ⁿ জন

(ii) ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা তিনজনে মোট 6,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক বছর পরে ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা যথাক্রমে লভ্যাংশের 50 টাকা, 100 টাকা এবং 150 টাকা পায়। স্মিতা ওই ব্যবসায় নিয়োজিত করেঃ

ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতার লভ্যাংশের অনুপাত

= 50 : 100 : 150 = 1 : 2 : 3

∴    ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতার মূলধনের অনুপাত = 1 : 2 : 3

∴    স্মিতা ওই ব্যবসায় নিয়োজিত করে

= 31+2+3 × 6000 টাকা = 36 × 6000 টাকা

= 3000 টাকা

(iii) A : B = 2 : 3, B : C = 5 : 8, C : D = 6 : 7 হলে, A : D = কত?

A : B = 2 : 3, B : C = 5 : 8 এবং C : D = 6 : 7

∴     AB × BC × CD = 23 × 58 × 67 = 5 : 14

(iv) ‘O’ কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ একটি ব্যাস; R বৃত্তের উপর একটি বিন্দু এবং PR = RQ হলে, ∠RPQ এর মানঃ

∠PRQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ      ∴    ∠PRQ = 90°

ΔPRQ এর PR = RQ

∴    ∠PQR = ∠RPQ = 180° − 90°2 = 45°

(v) যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ বা ছেদ না করলে বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শক সংখ্যাঃ

(vi) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তনঃ

2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন

= 43 π × (2r)³ ঘনএকক

= 43 × π × 8r³ ঘনএকক = 32πr³3 ঘনএকক

2. শূণ্যস্থান পূরণ করোঃ (যেকোনো পাঁচটি)

(i) বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার r% এবং প্রথম বছরের মূলধন P টাকা হলে, দ্বিতীয় বছরের মূলধন  ।

প্রথম বছরের মূলধন = P টাকা, বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার = r%

∴    দ্বিতীয় বছরের মূলধন = P ( 1 + r100 )¹ টাকা = P ( 1 + r100 ) টাকা

(ii) 7√11 একটি   সংখ্যা।

(iii) কোনো গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে, v ∝  ।

গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r হলে, আয়তন, v = 43 πr³

∴    v ∝ r³

(iv) দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হবে, যদি তাদের অনুরূপ বাহুগুলি   হয়।

(v) একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে, চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি  ।

(vi) সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে, সেই ঘনবস্তুর বিশেষ নাম  ।

3. নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লেখোঃ (যে-কোনো পাঁচটি)

(i) অংশীদারি ব্যবসায় কমপক্ষে 3 জন লোকের দরকার।

[সঠিক উত্তরঃ অংশীদারি ব্যবসায় কমপক্ষে 2 জন লোকের দরকার]

(ii) আসল ও সবৃদ্ধিমূলের মধ্যে সম্পর্কটি হল আসল < সবৃদ্ধিমূল।

(iii) x² = 100 সমীকরণের দুটি বীজ হল ±10.

(iv) a এবং b ব্যস্ত ভেদে থাকলে, ab = ধ্রুবক হবে।

[সঠিক উত্তরঃ a, b ব্যস্ত ভেদে থাকলে, ab = ধ্রুবক ]

(v) দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি মাত্র সাধারণ স্পর্শক থাকবে।

(vi) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয়।

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাওঃ (যে-কোনো দশটি)

(i) বার্ষিক সুদ আসলের 116 অংশ হলে, 8 মাসে 690 টাকার সুদ কত হবে ?

ধরি, আসল = P টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার = r%

∴    P × r100 × 1 = P × 116

বা,    r = 10016

সুতরাং, বার্ষিক সুদের হার = 10016% = 254%

∴    8 মাসে 690 টাকার সুদ = 690 × 254×100 × 812 টাকা

= 28.75 টাকা

(ii) কোনো স্থানের লোকসংখ্যা 13,310 জন ছিল। কি হারে বৃদ্ধি পেলে 3 বছরে 17,280 জন হবে ?

ধরি, লোকসংখ্যা বৃদ্ধির হার = r%

এখানে, P = 13310 জন, n = 3 বছর

∴    3 বছর পরে লোকসংখ্যা হবে = 13310 ( 1 + r100 )³ জন

শর্তানুসারে,

13310 ( 1 + r100 )³ = 17280

বা,    ( 1 + r100 )³ = 1728013310

বা,    ( 1 + r100 )³ = ( 1211 )³

বা,    1 + r100 = 1211

বা,     r100 = 1211 − 1

বা,    r = 111 × 100

∴    r = 10011 = 9 111

∴    9 111% হারে বৃদ্ধি পেলে 3 বছর পরে লোকসংখ্যা 17,280 জন হবে।

(iii) কোনো ব্যবসাতে A, B, C এর মূলধনের অনুপাত 1x : 1y : 1z , বছরের শেষে ব্যবসাতে z টাকা ক্ষতি হয়েছে। C এর ক্ষতির পরিমাণ নির্ণয় করো।

A, B, C এর মূলধনের অনুপাত = 1x : 1y : 1z

= xyzx : xyzy : xyzz = yz : xz : xy

বছরের শেষে z টাকা ক্ষতি হলে,

C এর ক্ষতির পরিমাণ = xyyz+xz+xy × z টাকা = xyzxy+yz+zx টাকা

(iv) 7x² − 66x + 27 = 0 সমীকরণটির বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত কত ?

7x² − 66x + 27 = 0         (1)

(1) নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল = − −667 = 667

এবং গুণফল = 277

∴    প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত

= 667 : 277 = 22 : 9

(v) হরের করণী নিরসন করোঃ 12√15 − 3

12√15 − 3 = 12(√15 + 3) (√15 − 3)(√15 + 3)

= 12(√15 + 3) (√15)² − (3)² = 12(√15 + 3) 15 − 9 = 12(√15 + 3) 6 = 2(√15 + 3)

(vi) ‘O’ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি. এবং AB একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি., ‘O’ বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব কত ?

ধরি, বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে জ্যা এর দূরত্ব = OM = x সেমি.

বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = OA = 13 সেমি.

যেহেতু, OM ⊥ AB

∴    AM = 12 AB = 12 × 10 সেমি. = 5 সেমি.

সমকোণী ΔAMO ত্রিভুজ থেকে পাই,

OM² + AM² = OA²

বা,    x² + 5² = 13²

বা,    x² = 169 − 25

বা,    x = √144 = 12

∴    বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে জ্যা এর দূরত্ব 12 সেমি.

(vii) AOB বৃত্তের একটি ব্যাস যার কেন্দ্র O, C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। ∠OBC = 60°, হলে ∠OCA এর মান নির্ণয় করো।

∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ

∴    ∠ACB = 90°

ΔOBC এর OB = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴    ∠OCB = ∠OBC = 60°

∠OCA = ∠ACB − ∠OCB = 90° − 60° = 30°

∴    ∠OCA = 30°

(viii) একটি ‘O’ কেন্দ্রীয় বৃত্ত যার কেন্দ্র থেকে 26 সেমি. দূরত্বে অবস্থিত P বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

ধরি, স্পর্শকটি বৃত্তটিকে M বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

∴    PM = 10 সেমি.

আবার, OP = 26 সেমি.

সমকোণী ΔPMO থেকে পাই,

OM² + PM² = OP²

∴    OM = √OP² − PM²

= √26² − 10² সেমি.

= √676 − 100 সেমি.

= √576 সেমি. = 24 সেমি.

∴    বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = 24 সেমি.

(ix) ΔABC এর DE || BC, যেখানে D ও E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর ওপর অবস্থিত। যদি AD = 5 সেমি., DB = 6 সেমি. এবং AE = 7.5 সেমি. হয়, তবে AC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

ΔABC এর DE || BC

∴    থ্যালাসের উপপাদ্য থেকে পাই,

ADDB = AEEC

বা,     56 = 7.5EC

∴    EC = 7.5 × 65 সেমি. = 9 সেমি.

∴    AC = AE + EC = (7.5 + 9) সেমি. = 16.5 সেমি.

(x) দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1: 2, ভূমির পরিধির অনুপাত 3: 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।

ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে r₁ একক এবং r₂ একক

এবং উচ্চতা যথাক্রমে h একক এবং 2h একক

শর্তানুসারে,

2πr₁2πr₂ = 34

বা,     r₁r₂ = 34

∴    লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত

= πr₁² × hπr₂² × 2h = ( r₁r₂ )² × 12 = ( 34 )² × 12 = 932 = 9 : 32

(xi) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়, তা নির্ণয় করো।

ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক

∴    গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গএকক

গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে,

ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হবে = ( r + r × 50100 ) একক = 3r2 একক

এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে = 4π × ( 3r2 )² বর্গএকক

= 4π × 9r²4 বর্গএকক = 9πr² বর্গএকক

বক্রতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = (9πr² − 4πr²) বর্গএকক

= 5πr² বর্গএকক

∴    বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে

= 5πr²4πr² × 100 = 125

(xii) একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি.। ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

ধরি, ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য = x সেমি.

শর্তানুসারে,

√3 × x = 4√3

∴    x = 4

সুতরাং, ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য = 4 সেমি.

∴    ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6 × 4² বর্গএকক = 96 বর্গএকক

5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

(i) কোনো মূলধনের একই বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারে 7 বছরে সুদে আসলে 7,100 টাকা এবং 4 বছরে সুদে-আসলে 6,200 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার নির্ণয় করো।

আসল + 7 বছরের সুদ = 7100 টাকা

আসল + 4 বছরের সুদ = 6200 টাকা

বিয়োগ করে পাই,            3 বছরের সুদ = 900 টাকা

3 বছরের সুদ 900 টাকা

1 বছরের সুদ 9003 টাকা

7 বছরের সুদ 9003 × 7 টাকা = 2100 টাকা

∴    আসল = (7100 − 2100) টাকা = 5000 টাকা

ধরি, বার্ষিক সরল সুদের হার = r%

আসল (p) = 5000 টাকা

সময় (t) = 1 বছর

1 বছরের সুদ (I) = 9003 টাকা = 300 টাকা

∴    300 = 5000 × r × 1100

বা,    r = 300 × 1005000

∴    r = 6

সুতরাং, মূলধনের পরিমাণ 5000 টাকা এবং বার্ষিক সরল সুদের হার 6%

(ii) তিন বন্ধু যথাক্রমে 8,000 টাকা, 10,000 টাকা ও 12,000 টাকা সংগ্রহ করে এবং ব্যাংক থেকে কিছু টাকা ঋণ নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করেন। বছরের শেষে তারা দেখলেন 13,400 টাকা লাভ হয়েছে। সেই লাভ থেকে ব্যাংকের বছরের কিস্তি 5,000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি টাকা তারা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলাম। লভ্যাংশ থেকে কে কত টাকা পাবেন ?

তিনবন্ধুর মূলধনের অনুপাত = 8000 : 10000 : 12000 = 4 : 5 : 6

ব্যাঙ্কের কিস্তি শোধ দেওয়ার পর বাকি থাকে

= (13400 − 5000) টাকা = 8400 টাকা

বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করা হলে,

লভ্যাংশ থেকে প্রথম বন্ধু পাবে = 44+5+6 × 8400 টাকা

= 415 × 8400 টাকা = 2240 টাকা

দ্বিতীয় বন্ধু পাবে = 54+5+6 × 8400 টাকা

= 515 × 8400 টাকা = 2800 টাকা

এবং তৃতীয় বন্ধু পাবে = 615 × 8400 টাকা = 3360 টাকা

(iii) 20,000 টাকার বার্ষিক 5% সুদের হারে, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য কত হবে ?

বার্ষিক 5% সুদের হারে 20000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ

= 20000 ( 1 + 5100 )² টাকা

= 20000 × 105100 × 105100 টাকা

= 22050 টাকা

∴    চক্রবৃদ্ধি সুদ = (22050 − 20000) টাকা = 2050 টাকা

বার্ষিক 5% সুদের হারে 20000 টাকার 2 বছরের সরল সুদ

= 20000 × 5100 × 2 টাকা

= 2000 টাকা

∴    চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর = (2050 − 2000) টাকা

= 50 টাকা

6. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

(i) সমাধান করোঃ 1a+b+x = 1a + 1b + 1x , x ≠ 0, −(a + b)

1a+b+x = 1a + 1b + 1x

বা,     1a+b+x − 1x = 1a + 1b

বা,     x − (a+b+x)x(a+b+x) = b+aab

বা,     −(a+b)x(a+b+x) = a+bab

বা,     −1ax+bx+x² = 1ab

বা,    x² + ax + bx = −ab

বা,    x² + ax + bx + ab = 0

বা,    x(x + a) + b(x + a) = 0

বা,    (x + a)(x + b) = 0

হয়,    x + a = 0     অথবা,    x + b = 0

বা,    x = −a         বা,    x = −b

∴    নির্ণেয় সমাধান, x = −a, −b

(ii) সমীকরণের বীজদ্বয় −4, 3 হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো।

বীজদ্বয়ের যোগফল = (−4 + 3) = −1

এবং বীজদ্বয়ের গুণফল = −4 × 3 = −12

∴    নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল

x² − (−1)x + (−12) = 0

বা,    x² + x − 12 = 0

(iii) m + 1m = √3 হলে, (a) m² + 1m² এবং (b) m³ + 1m³ এদের সরলতম মান নির্ণয় করো ?

(a) m² + 1m² = ( m + 1m )² − 2m · 1m = ( √3 )² − 2

= 3 − 2 = 1

(b) m³ + 1m³ = ( m + 1m )³ − 3m · 1m ( m + 1m )

= ( √3 )³ − 3√3 = 3√3 − 3√3 = 0

7. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

(i) সরলতম মান নির্ণয় করোঃ √5√3 + √2 − 3√3√2 + √5 + 2√2√3 + √5

√5√3 + √2 − 3√3√2 + √5 + 2√2√3 + √5

= √5(√3 − √2) (√3 + √2)(√3 − √2) − 3√3(√2 − √5) (√2 + √5)(√2 − √5) + 2√2(√3 − √5) (√3 + √5)(√3 − √5)

= √15 − √10 (√3)² − (√2)² − 3(√6 − √15) (√2)² − (√5)² + 2(√6 − √10) (√3)² − (√5)²

= √15 − √10 3 − 2 − 3(√6 − √15) 2 − 5 + 2(√6 − √10) 3 − 5

= √15 − √10 1 − 3(√6 − √15) −3 + 2(√6 − √10) −2

= √15 − √10 + √6 − √15 − √6 + √10

= 0

(ii) যদি a = √5 + 1√5 − 1 এবং ab = 1 হয়, তবে ( ab + ba ) এর মান নির্ণয় করো।

a = √5 + 1√5 − 1 , ab = 1

∴    b = 1a = √5 − 1√5 + 1

a + b = √5 + 1√5 − 1 + √5 − 1√5 + 1 = (√5 + 1)² − (√5 − 1)² (√5 − 1)(√5 + 1) = 4 · √5 · 1 (√5)² − 1 = 4√54 = √5

এখন,     ab + ba = a² + b²ab

= (a + b)² − 2abab

= (√5)² − 2 · 1 1 = 5 − 2 = 3

(iii) 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কত দিনে চাষ করতে পারবেন, তা নির্ণয় করো।

ধরি, কৃষকের সংখ্যা = A, দিনের সংখ্যা = B

এবং জমির পরিমাণ = C

যেহেতু, জমির পরিমাণ স্থির থাকলে দিনের সংখ্যা কৃষকের সংখ্যার সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে থাকে।

∴    B ∝ 1A , যখন C ধ্রুবক

আবার, যেহেতু, কৃষকের সংখ্যা স্থির থাকলে দিনের সংখ্যার সঙ্গে জমির পরিমাণ সরল ভেদে থাকে।

∴    B ∝ C, যখন A ধ্রুবক

∴    যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে,

B ∝ CA , যখন A ও C উভয়েই পরিবর্তনশীল

∴    B = k · CA   [যেখানে, k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]    —(I)

প্রদত্ত, A = 15, B = 5 এবং C = 18

(I) নং থেকে পাই, 5 = k · 1815

বা,    k = 15 × 518

∴    k = 256

(I) নং সমীকরণে k এর মান বসিয়ে পাই, B = 25C6A     —(II)

A = 10 এবং C = 12 হলে, (II) নং থেকে পাই,

B = 25 × 126 × 10 = 5

∴    10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি 5 দিনে চাষ করতে পারবেন।

8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

(i) যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ করো abc(a+b+c)³(ab+bc+ca)³ = 1

ধরি, ab = bc = k, [যেখানে k ≠ 0]

∴    a = bk                এবং b = ck

= ck · k = ck²

বামপক্ষ = abc(a+b+c)³(ab+bc+ca)³

= ck² · ck · c(ck² + ck + c)³ (ck² · ck + ck · c + c · ck²)³

= c³k³ {c(k² + k + 1)}³ {c²k(k² + 1 + k)}³

= c³k³ · c³(k² + k + 1)³ c⁶k³(k² + k + 1)³ = 1 = ডানপক্ষ

∴    বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

(ii) a1−a + b1−b + c1−c = 1 হলে, 11−a + 11−b + 11−c এর মান নির্ণয় করো।

a1−a + b1−b + c1−c = 1

বা,     a1−a + 1 + b1−b + 1 + c1−c + 1 = 1 + 3

বা,     a+1−a1−a + b+1−b1−b + c+1−c1−c = 4

∴     11−a + 11−b + 11−c = 4

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

(i) প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

প্রদত্তঃ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

প্রমাণ করতে হবে যেঃ

∠ABC + ∠ADC = 2 সমকোণ

∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ

অঙ্কনঃ AC, BD কর্ণদ্বয় অঙ্কন করলাম।

প্রমাণঃ

∠ADB = ∠ACB [একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]

আবার, ∠BAC = ∠BDC [একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]

∠ADC = ∠ADB + ∠BDC

= ∠ACB + ∠BAC

∴    ∠ADC + ∠ABC = ∠ACB + ∠BAC + ∠ABC

∴    ∠ABC + ∠ADC = 2 সমকোণ

[∵ ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 2 সমকোণ]

অনুরূপ ভাবে প্রমাণ করতে পারি যে,

∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ [প্রমাণিত]

(ii) প্রমাণ করো ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা -এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করা হলে, ওই লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

প্রদত্তঃ

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস নয় এরূপ একটি জ্যা এবং OD, AB এর উপর লম্ব।

প্রমাণ করতে হবে যেঃ OD, AB জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে অর্থাৎ, AD = DB

অঙ্কনঃ O, A এবং O, B যুক্ত করলাম।

প্রমাণঃ OD, AB জ্যা এর উপর লম্ব।

সুতরাং, ΔODA এবং ΔODB উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।

∴    সমকোণী ΔODA এবং ΔODB এর মধ্যে

∠ODA = ∠ODB [প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ]

অতিভুজ OA = অতিভুজ OB

এবং OD সাধারণ বাহু

∴    ΔODA ≅ ΔODB [সর্বসমতার R-H-S শর্তানুসারে]

∴    AD = DB [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ অংশ] [প্রমাণিত]

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

(i) ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC এর বহির্দ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করো যে, AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

প্রদত্তঃ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

প্রমাণ করতে হবে যেঃ AE, ∠BAC এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

অঙ্কনঃ CD কে P পর্যন্ত এবং BA কে Q পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।

প্রমাণঃ DE জ্যা ∠BDC এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

∴    ∠BDE = ∠PDE

ACDE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠PDE এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠EAC

∴    ∠PDE = ∠EAC

সুতরাং,    ∠BDE = ∠EAC     —(I)

আবার, ABDE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠QAE এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠BDE

∴    ∠QAE = ∠BDE

বা,    ∠QAE = ∠EAC     [ (I) নং থেকে পাই]

∴    AE, ∠QAD এর সমদ্বিখণ্ডক

সুতরাং, AE ∠BAC এর বহির্দ্বিখণ্ডক। [প্রমাণিত]

(ii) O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে, প্রমাণ করো যে, ∠AOC − ∠BOD = 2∠BPC

প্রদত্তঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যেঃ ∠AOC − ∠BOD = 2∠BPC

অঙ্কনঃ A, D যোগ করা হল।

প্রমাণঃ AC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC

∴    ∠AOC = 2∠ADC

BD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAD

∴    ∠BOD = 2∠BAD

ΔADP এর বহিঃস্থ কোণ ∠ADC = ∠APD + ∠PAD

বা,    ∠ADC = ∠APD + ∠BAD

বা,    ∠ADC − ∠BAD = ∠APD

বা,    2∠ADC − 2∠BAD = 2∠APD     [উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করে]

বা,    ∠AOC − ∠BOD = 2∠APD

[∵ ∠AOC = 2∠ADC এবং ∠BOD = 2∠BAD]

∴    ∠AOC − ∠BOD = 2∠BPC   [প্রমাণিত]

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির দৈর্ঘ্য 4 সেমি. ও 8 সেমি.। ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করো। (কেবলমাত্র অঙ্কনচিহ্ন দিতে হবে।)

ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করলাম যার ∠ABC = 90°,

AB = 4 সেমি. এবং BC = 8 সেমি.

ΔABC এর পরিবৃত্ত অঙ্কন করলাম যার পরিকেন্দ্র O।

(ii) 2.6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত অঙ্কন করো এবং ঐ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সেমি. দূরে, ঐ বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তটির একটি স্পর্শক অঙ্কন করো।

O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্ত অঙ্কন করলাম যার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.6 সেমি.। AP ও AQ হল O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে ওই বৃত্তের দুটি স্পর্শক।

12. যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

(i) 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে নির্ণয় করো।

ধরি, জলের গভীরতা a মিটার বৃদ্ধি পাবে।

a মিটার উচ্চতাবিশিষ্ট আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার আয়তন

= 2.1 × 1.5 × a ঘনমিটার

= 3.15a ঘনমিটার

= 3.15a × 1000 ঘনডেসিমি.

= 3150a ঘনডেসিমি.

= 3150a লিটার     [∵ 1 লিটার = 1 ঘনডেসিমি.]

শর্তানুসারে,

3150a = 630

বা,    a = 6303150

∴    a = 0.2

∴    জলের গভীরতা 0.2 মিটার = 2 ডেসিমি. বৃদ্ধি পাবে।

(ii) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা 6 গুণ হতো, তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি. বেশী হতো, চোঙটির উচ্চতা কত।

ধরি, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r ডেসিমি.

∴    চোঙটির উচ্চতা 2r ডেসিমি.

∴    চোঙটির আয়তন = πr² × 2r ঘনডেসিমি. = 2πr³ ঘনডেসিমি.

চোঙটির উচ্চতা 6 গুণ হলে চোঙের উচ্চতা হবে 6r ডেসিমি.

এবং চোঙের আয়তন হবে = πr² × 6r ঘনডেসিমি. = 6πr³ ঘনডেসিমি.

শর্তানুসারে,

6πr³ − 2πr³ = 539

বা,    4πr³ = 539

বা,    4 × 227 × r³ = 539

বা,    r³ = 539 × 14 × 722

বা,    r³ = 3438

∴    r = 72

∴    চোঙটির উচ্চতা = 2 × 72 ডেসিমি. = 7 ডেসিমি.

(iii) লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গমিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘনমিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করো।

প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গ মিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘন মিটার বাতাসের প্রয়োজন।

∴    লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির তাঁবুটির

ভূমির ক্ষেত্রফল = 11 × 4 বর্গমিটার = 44 বর্গমিটার

এবং আয়তন     = 11 × 20 ঘনমিটার = 220 ঘনমিটার

ধরি, তাঁবুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈঘ্য r মিটার এবং উচ্চতা h মিটার

∴    ভূমির ক্ষেত্রফল = πr² বর্গমিটার

এবং শঙ্কুটির আয়তন = 13 πr²h ঘনমিটার

∴                        πr² = 44                         (1)

এবং                     13 πr²h = 220                     (2)

(2) নং থেকে (1) নং ভাগ করে পাই,

13πr²h πr² = 22044

বা,     h3 = 5

বা,    h = 5 × 3

∴    h = 15

∴    লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির তাঁবুটির উচ্চতা 15 মিটার।

(iv) 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গোলাকার গুলি তৈরী করা যাবে তা নির্ণয় করো।

8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের নিরেট গোলকের আয়তন

= 43 × π × 8³ ঘনসেমি.

1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের নিরেট গোলকের আয়তন

= 43 × π × 1³ ঘনসেমি.

∴    নির্ণেয় নিরেট গুলির সংখ্যা = 43 × π × 8³ 43 × π × 1³ টি = 512 টি

(v) একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি., 6 ডেসিমি. এবং 5.4 ডেসিমি.। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা. হলে, 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন কত হবে তা নির্ণয় করো।

চা বাক্সের ভিতরের দিকে আয়তন = (7.5 × 6 × 5.4) ঘনডেসিমি.

= 243 ঘনডেসিমি.

চা ভর্তি বাক্সের ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম = 52.350 কিগ্রা.

খালি বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা.

∴    চা এর ওজন = (52.350 − 3.75) কিগ্রা = 48.6 কিগ্রা

243 ঘনডেসিমি. চায়ের ওজন 48.6 কিগ্রা

1 ঘনডেসিমি. চায়ের ওজন = 48.6243 কিগ্রা = 486 × 100010 × 243 গ্রাম = 200 গ্রাম